Ugrás a tartalomhoz
Okosan élek

Prímtényezős felbontás

Írd be a számot: megkapod a prímtényezős felbontást hatványalakban, az osztólétrát vagy a prímtényezőfát és az osztók számát.

Matematika és iskola Képletek ellenőrizve:

Pozitív egész szám, legfeljebb 999 999 999 999.

Eredmény

360 prímtényezős felbontása

2³ · 3² · 5

2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5

Prímtényezők száma

6

3 különböző prím

Osztók száma

24

Osztólétra: 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 536021802902453153551
Az osztólétrán a bal oldalon az aktuális szám áll, a jobb oldalon az a prím, amellyel elosztjuk. A jobb oldali prímek szorzata az eredeti szám.
A szám összetett szám
360
Prímtényezős felbontás (hatványalak)
2³ · 3² · 5
Szorzatalak (minden tényező külön)
2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5
Különböző prímtényezők száma 2, 3, 5
3
Prímtényezők száma ismétléssel
6
Az osztók száma a kitevők növelt értékeinek szorzata: (3 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1)
24
Az osztók összege prímenként az 1 + p + … + p^e összegek szorzata
1 170
Négyzetszám? van páratlan kitevő
nem
Szorzó, amellyel négyzetszám lesz a páratlan kitevőjű prímek szorzata; ekkor a szám 60² lesz
10
Hogyan jött ki ez az eredmény? – a számítás lépései

  1. 1. Próbaosztás a prímekkel növekvő sorrendben (elég a gyökig: √360 ≈ 18,97)

    minden osztás után ugyanazzal a prímmel folytatjuk, amíg osztható

    = összetett szám

  2. 2. Az osztólétra lépései

    360 : 2 = 180; 180 : 2 = 90; 90 : 2 = 45; 45 : 3 = 15; 15 : 3 = 5; 5 : 5 = 1

    = 6 prímtényező

  3. 3. A prímtényezők szorzata

    360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5

    = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5

  4. 4. Hatványalak: az azonos prímek kitevővel

    2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2³ · 3² · 5

    = 2³ · 3² · 5

  5. 5. Ellenőrzés: a hatványok szorzata

    8 · 9 · 5 = 360

    = 360 = a megadott szám

  6. 6. Az osztók száma: a kitevők növelt értékeinek szorzata

    (3 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) = 24

    = 24 osztó

Mit számol a prímtényezős felbontás kalkulátor?

Beírsz egy 1-nél nagyobb egész számot (legfeljebb 999 999 999 999-ig), a kalkulátor pedig prímszámok szorzatára bontja. Megkapod a felbontást hatványalakban (például 360 = 2³ · 3² · 5), a tényezők külön felsorolt alakját, az osztólétra vagy a prímtényezőfa ábráját (te választod ki), az osztók számát és összegét, és azt, hogy négyzetszám-e a szám. Ha nem az, megmutatja, mivel kell szorozni, hogy négyzetszám legyen.

Hogyan számolunk?

  1. Próbaosztás. A számot a legkisebb prímmel (2, 3, 5, 7, 11, …) osztjuk, amelyik maradék nélkül megy. Az osztás eredményével ugyanezt ismételjük, amíg 1-et nem kapunk.
  2. Meddig kell próbálkozni? Elég a szám négyzetgyökéig: ha egy összetett számnak lenne csak ennél nagyobb prímosztója, a szorzat túl nagy lenne. Ha addig nincs osztó, a szám prímszám.
  3. Hatványalak. Az azonos prímtényezőket kitevővel írjuk: 2 · 2 · 2 = 2³.
  4. Ellenőrzés. A hatványok szorzatának az eredeti számot kell adnia.
  5. Osztók száma. A kitevők növelt értékeit szorozzuk össze: ha n = p₁a · p₂b · …, akkor (a + 1)(b + 1)…
n = p₁a · p₂b · … · pₖc
osztók száma = (a + 1)(b + 1)…(c + 1)

Miért így számolunk?

  • A felbontás egyértelmű. A számtan alaptétele szerint minden 1-nél nagyobb egész szám a tényezők sorrendjétől eltekintve pontosan egyféleképpen írható fel prímek szorzataként. Ezért a kalkulátor eredménye mindig ugyanaz, bárhogy is osztunk.
  • A legkisebb prímmel kezdünk, így a lépések rendezettek, és az ábrán is növekvő sorrendben állnak a prímek.
  • Mire jó? LNKO és LKKT számításhoz, törtek egyszerűsítéséhez és közös nevezőre hozásához, az osztók megkereséséhez és a négyzetgyök egyszerűsítéséhez.

Az ábrák

Osztólétra: a bal oszlopban az aktuális szám áll, a függőleges vonal jobb oldalán az a prím, amellyel elosztjuk. A jobb oldali prímek szorzata az eredeti szám. Prímtényezőfa: minden szint egy prímet választ le (színes kör), a maradék szám tovább bomlik, az utolsó maradék maga is prím. Az osztólétra legfeljebb 24, a fa legfeljebb 10 prímtényezőig rajzolható ki olvashatóan.

Számolási példák

  • 360: 360 : 2 = 180; 180 : 2 = 90; 90 : 2 = 45; 45 : 3 = 15; 15 : 3 = 5; 5 : 5 = 1. A felbontás 2³ · 3² · 5, 6 prímtényező, 24 osztó, az osztók összege 1 170. Négyzetszámmá a 10-zel szorozva válik (3600 = 60²).
  • 84: 2² · 3 · 7, 12 osztóval, az osztók összege 224.
  • 1001: 7 · 11 · 13, 8 osztóval.
  • 97: prímszám, a felbontása maga a szám.

Mire figyelj még?

  • Az 1 nem prímszám és nem összetett szám, ezért nincs prímtényezős felbontása. A 0 és a negatív számok nem adhatók meg.
  • Nagyon nagy prímszámoknál a próbálkozás a négyzetgyökig tart, ezért 999 999 999 999 a felső határ.
  • A felbontás után az osztókat az oszthatóság és osztók kalkulátor listázza, az LNKO-t és az LKKT-t pedig a külön kalkulátor számolja.

Gyakori kérdések

Mi a prímtényezős felbontás?

Az összetett számot prímszámok szorzataként írjuk fel. Például 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2³ · 3² · 5. A számtan alaptétele szerint ez a felbontás a tényezők sorrendjétől eltekintve egyetlen módon lehetséges.

Hogyan működik az osztólétra?

A számot a legkisebb prímszámmal osztjuk, amellyel maradék nélkül osztható, az eredményt leírjuk alá, és ezt ismételjük, amíg 1-et nem kapunk. A jobb oldalon álló prímek szorzata adja az eredeti számot.

Meddig kell próbálkozni az osztókkal?

Elég a szám négyzetgyökéig: ha az n összetett szám, van olyan prímosztója, amely legfeljebb √n. Ha addig nincs osztó, a szám prímszám.

Miért nincs az 1-nek prímtényezős felbontása?

Az 1 nem prímszám és nem összetett szám, nincs prímtényezője (az üres szorzat értéke 1). Ezért a kalkulátor a 2-nél kisebb számokra nem ad felbontást.

Mekkora számot adhatok meg?

Legfeljebb 999 999 999 999-et (majdnem egybillió). A felbontás a négyzetgyökig próbálkozik, ezért ennél nagyobb szám kiszámítása nem lenne gyors.

Hiteles források

A számítás alapjait az alábbi hivatalos és szakmai forrásokból ellenőriztük, 2026. október 19.-i állapot szerint.

Fontos: a kalkulátor oktatási segédeszköz: a levezetés a gyakorlást és az ellenőrzést segíti, de a házi feladatot és a dolgozatot a tanári, tankönyvi módszer szerint kell megoldani. A kerekített értékek közelítések, a pontos alak az eredmény mellett szerepel. Hibát találtál, vagy hiányzik valami? Írj nekünk.

További kalkulátorok