Ugrás a tartalomhoz
Okosan élek

Tört egyszerűsítése és bővítése

Add meg a törtet (és ha kell, a célnevezőt): megkapod a legegyszerűbb alakot, a bővítési szorzót és a levezetést.

Matematika és iskola Képletek ellenőrizve:

Hagyd 0-n, ha csak egyszerűsíteni szeretnél. Ha megadod, a tört erre a nevezőre lesz átírva.

Eredmény

18/24 legegyszerűbb alakja

3/4

LNKO = 6

Tizedes tört

0,75

Egyszerűsítve

igen

Egyenlő értékű törtek sávjai: 18/24 = 3/418/243/4
Az azonos hosszúságú színezett rész mutatja, hogy a tört értéke nem változik: csak a sáv felosztása más.
A beírt tört
18/24
Az LNKO ennyivel osztjuk a számlálót és a nevezőt
6
A legegyszerűbb alak
3/4
Tizedes tört véges tizedes tört
0,75
Bővítés célnevezőre a célnevező 0, ezért csak az egyszerűsítést mutatjuk; a bővített alakok a táblázatban láthatók
nincs megadva
Hogyan jött ki ez az eredmény? – a számítás lépései

  1. 1. A legnagyobb közös osztó (euklideszi algoritmus)

    24 = 1 · 18 + 6; 18 = 3 · 6 + 0

    = LNKO = 6

  2. 2. Egyszerűsítés: a számlálót és a nevezőt is elosztjuk az LNKO-val

    (18 : 6) / (24 : 6)

    = 3/4

Az egyenlő értékű alakok (az egyszerűsített tört bővítései)
Bővítési szorzóSzámlálóNevezőTört
1343/4
2686/8
39129/12
4121612/16
5152015/20
6182418/24
7212821/28
8243224/32

Mit számol a tört egyszerűsítése és bővítése kalkulátor?

Megadod a törtet (számláló, nevező), a kalkulátor pedig megtalálja a legegyszerűbb alakját: kiszámolja a számláló és a nevező legnagyobb közös osztóját (LNKO), és mindkettőt elosztja vele. Ha megadsz egy célnevezőt is, a törtet erre a nevezőre bővíti, és megmutatja a bővítési szorzót. Ha a célnevező nem érhető el, azt is jelzi, és felsorolja a lehetséges nevezőket. A táblázat a tört első nyolc bővítését mutatja, a sávábra pedig azt, hogy az érték végig ugyanaz marad.

Hogyan számolunk?

  1. LNKO meghatározása az euklideszi algoritmussal: a nagyobb számot elosztjuk a kisebbel, aztán a kisebbet a maradékkal, amíg a maradék 0 nem lesz. Az utolsó nem nulla maradék az LNKO.
  2. Egyszerűsítés: a számlálót és a nevezőt is elosztjuk az LNKO-val.
  3. Bővítési szorzó: célnevező : eredeti nevező. Ha ez nem egész, megnézzük, hogy az egyszerűsített nevezőből elérhető-e a célnevező (ez akkor igaz, ha többszöröse az egyszerűsített nevezőnek).
  4. Bővítés: a számlálót és a nevezőt is megszorozzuk a bővítési szorzóval.
a/b = (a : g) / (b : g), ahol g = LNKO(a; b)
a/b = (a · k) / (b · k), ahol k = célnevező : b

Miért így számolunk?

  • Az érték nem változik. Ha a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a nullától különböző számmal szorozzuk vagy osztjuk, a tört értéke ugyanaz marad, mert a hányados nem változik.
  • Az LNKO adja a legegyszerűbb alakot. Ha az LNKO-val osztunk, a maradék számláló és nevező már relatív prím, így a tört tovább nem egyszerűsíthető. Kisebb osztóval többször is kellene egyszerűsíteni.
  • A célnevezőnek többszörösnek kell lennie. Bővítéssel a nevező mindig az egyszerűsített nevező egész szám szorosa lesz. Az 1/2 például bővíthető 8-adokra (4/8), de 7-edekre nem.

Az ábra: törtsávok

Minden sáv egy egész, amelyet a nevezőnek megfelelő egyenlő részre osztottunk, a színezett részek száma a számláló. Az eredeti, az egyszerűsített és a bővített tört sávja ugyanolyan hosszan van színezve, csak a felosztás finomsága más. Az ábra kisebb nevezőknél jelenik meg.

Számolási példák

  • 18/24: az euklideszi algoritmus: 24 = 1 · 18 + 6; 18 = 3 · 6 + 0, tehát az LNKO 6. Az egyszerűsített alak 3/4, a tizedes alak 0,75.
  • 42/56: az LNKO 14, az eredmény szintén 3/4.
  • 5/6 bővítése 48-adokra: 48 : 6 = 8, ezért 5/6 = 40/48.
  • 5/6 bővítése 20-adokra: a 20 nem többszöröse a 6-nak, ezért nem lehetséges. A lehetséges nevezők: 6, 12, 18, 24, 30, 36.
  • 18/24 bővítése 40-edekre: a 40 nem többszöröse a 24-nek, de az egyszerűsített 3/4 nevezője (4) osztója a 40-nek, a szorzó 10, így az eredmény 30/40.

Mire figyelj még?

  • A nevező pozitív egész legyen. Negatív törtnél az előjelet a számláló viszi (−6/8 = −3/4).
  • A 0 számlálójú tört értéke 0, egyszerűsített alakja 0/1.
  • Ha a célnevező 0, a kalkulátor csak egyszerűsít.
  • Vegyes számot előbb váltsd áltörtté (a vegyes számok kalkulátorával), és azt add meg számlálóval és nevezővel.

Gyakori kérdések

Mi a különbség az egyszerűsítés és a bővítés között?

Egyszerűsítésnél a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a számmal osztjuk, bővítésnél ugyanazzal a számmal szorozzuk. A tört értéke egyik esetben sem változik, csak az írásmódja.

Hogyan találom meg a legegyszerűbb alakot?

Mind a számlálót, mind a nevezőt el kell osztani a legnagyobb közös osztójukkal (LNKO). Utána a tört már nem egyszerűsíthető, mert a számláló és a nevező relatív prím.

Miért nem lehet bármilyen nevezőre bővíteni?

Bővítéssel a nevező csak az egyszerűsített nevező többszöröse lehet. Például az 1/2 bővíthető 8-adokra (4/8), de 7-edekre nem, mert a 7 nem többszöröse a 2-nek. Ilyenkor a kalkulátor jelzi, mely nevezők lehetségesek.

Egyszerűsíthető a negatív tört is?

Igen, az előjelet a számláló viszi: −6/8 = −3/4. A nevező mindig pozitív.

Hiteles források

A számítás alapjait az alábbi hivatalos és szakmai forrásokból ellenőriztük, 2026. október 19.-i állapot szerint.

Fontos: a kalkulátor oktatási segédeszköz: a levezetés a gyakorlást és az ellenőrzést segíti, de a házi feladatot és a dolgozatot a tanári, tankönyvi módszer szerint kell megoldani. A kerekített értékek közelítések, a pontos alak az eredmény mellett szerepel. Hibát találtál, vagy hiányzik valami? Írj nekünk.

További kalkulátorok