Számtani sorozat kalkulátor

Mit számol a számtani sorozat kalkulátor?

A számtani sorozatot öt adat jellemzi: az első tag (a₁), a különbség (d), a tagok száma (n), az n-edik, vagyis utolsó tag (aₙ) és az első n tag összege (Sₙ). Ezeket két egyenlet köti össze, ezért bármely három ismert adatból kiszámolható a többi. Add meg, amit tudsz, hagyd üresen, amit keresel: a kalkulátor megoldja a feladatot, levezeti a lépéseket, kilistázza a tagokat és a részletösszegeket, és kirajzolja a sorozat pontjait. Egy tetszőleges k-adik tagot és az első k tag összegét is lekérdezheted.

Hogyan számolunk?

1. Az n-edik tag: minden lépésnél d-vel nő a tag, az n-edik tag az első tagtól (n − 1) lépésre van: aₙ = a₁ + (n − 1)·d.
2. Az összeg: az első és az utolsó tag átlagát szorozzuk a tagok számával: Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2.
3. Hiányzó adat: a két képletet a keresett mennyiségre rendezzük. Ha például az n ismeretlen, az első képletből n = (aₙ − a₁)/d + 1.
4. Ha az összeg és d ismert, de n nem: a két képlet másodfokú egyenletet ad n-re: (d/2)·n² + (a₁ − d/2)·n − Sₙ = 0. A megoldásnak pozitív egész számnak kell lennie.
5. Ellenőrzés: ha háromnál több adatot adsz meg, az összeset behelyettesítjük a kész sorozatba, és ha valami nem stimmel, hibát jelzünk.

Miért így számolunk?

A képletek a számtani sorozat definíciójából következnek: a szomszédos tagok különbsége állandó. Az összegképlet a híres Gauss-trükk általánosítása: ha a sorozatot kétszer, egyszer fordított sorrendben írjuk egymás alá, minden oszlop összege a₁ + aₙ, és n oszlop van, a kétszeres összeg tehát n·(a₁ + aₙ). Az n-et csak pozitív egész számnak fogadjuk el, mert a tagok darabszáma nem lehet tört vagy negatív. Ha az adatokból mégis ilyen érték jön ki, azt a program nem „kerekíti ki”, hanem megmondja, hogy nincs ilyen sorozat. A képleteket a szakirodalom (például a Wolfram MathWorld) és az iskolai tankönyvek is így közlik; az oldal alján a források között találod.

Az ábra

A grafikon a sorozat tagjait (k; aₖ) pontokként mutatja, legfeljebb az első 30 tagig. A pontok egy egyenesen fekszenek, mert az aₖ = a₁ + (k − 1)·d a k lineáris függvénye; az egyenes meredeksége a különbség. Pozitív d-nél a sorozat emelkedik, negatívnál csökken, d = 0-nál vízszintes.

Számolási példák

• a₁ = 3, d = 4, n = 10: a₁₀ = 3 + 9·4 = 39, S₁₀ = 10·(3 + 39)/2 = 210.
• a₁ = 5, d = −2, aₙ = −9: n = (−9 − 5)/(−2) + 1 = 8, S₈ = 8·(5 − 9)/2 = −16.
• Gauss: 1 + 2 + … + 100 (a₁ = 1, d = 1, n = 100): aₙ = 100, S = 100·101/2 = 5050.
• a₁ = 10, d = −2, S = 30: két megoldás van, n = 5 (az utolsó tag 2) és n = 6 (az utolsó tag 0), mert a 0 hozzáadásával az összeg nem változik. Ilyenkor mindkettőt megmutatjuk.

Mire figyelj még?

• Tizedes számot vesszővel vagy ponttal, törtet „1/3” alakban is beírhatsz; a kerekítés miatt a tizedes alak közelítés lehet, ezért ahol az eredmény egyszerű tört, ott a tört alakját is jelezzük.
• Az n legfeljebb 100 000 lehet, a táblázat hosszú sorozatnál csak az első és az utolsó tagokat mutatja.
• Ha n = 1, a különbség nem határozható meg (egyetlen tagból nem derül ki), ezt a program jelzi.
• Ez oktatási segédeszköz: a dolgozatban a tanárod által kért levezetési formát használd.