Függvényábrázoló

Mit csinál a függvényábrázoló?

Beírsz egy egyváltozós függvényt (például x^2-3x+1, sin(x), 2^x, 1/x, sqrt(x), abs(x-2)), megadod, hogy az x tengelyen mekkora szakaszt szeretnél látni, és a kalkulátor kirajzolja a grafikont, kiszámolja az értéktáblázatot, megkeresi a tengelymetszeteket (az y tengelyt és a zérushelyeket), jelzi, hol nem értelmezett a függvény, megadja a legkisebb és legnagyobb értéket a tartományon, és megvizsgálja, hogy a függvény páros vagy páratlan-e. Az y tengely tartománya automatikus, de kézzel is megadható.

Hogyan számolunk?

1. Beolvasás: a kifejezést saját, biztonságos elemzővel olvassuk be (nem futtatunk beírt programkódot). Támogatott: + − * / ^, zárójel, x, pi, e, valamint sin, cos, tan, asin, acos, atan, sqrt, abs, ln, log (10-es alapú), exp. A szorzójel elhagyható (2x, 3(x+1)). A hatványozás jobbra kötő és erősebb az előjelnél: −x^2 = −(x^2), 2^3^2 = 2^(3^2). Az eredmény alatt „Értelmezett alak” sorban látod, hogyan olvastuk be.
2. Mintavételezés: a kiválasztott x szakaszt 1200 egyenlő részre osztjuk, és mindegyik osztópontban kiszámoljuk a függvényértéket. Ahol a kifejezés nem számolható (nullával osztás, negatív szám gyöke vagy logaritmusa), ott a függvény nem értelmezett.
3. Y tengelymetszet: f(0) behelyettesítéssel.
4. Zérushelyek: ahol két szomszédos mintapont között a függvény előjelet vált, az intervallumot addig felezzük, amíg a hely 10 tizedesre pontos. A függőleges aszimptotát (ahol az érték „átugrik”) kiszűrjük. A páros multiplicitású gyököt (érintés, például (x−1)²) külön keressük.
5. Értéktábla: a megadott számú pontban, egyenletesen elosztva a tartományon.

Miért így számolunk?

A grafikon pontok sorozata, ezért a program a számolást numerikusan végzi: ez bármilyen beírt kifejezésre működik, de közelítő. A zérushelyek az intervallumfelezéssel (bisection) 10 tizedesre pontosak; egy nagyon sűrűn rezgő vagy a mintapontok között „bújó” zérushely kimaradhat, ilyenkor szűkítsd az x tartományt. A szimmetria-vizsgálat mintavételes: a ±0,1 … ±8 helyeken ellenőrizzük az egyenlőséget, ez erős jelzés, de nem bizonyítás. A függvényekre és az értelmezési tartományra vonatkozó fogalmak a középiskolai tananyag (NAT) részei; a jelölésekhez és a gyökkereséshez a források között találsz hivatkozást.

Az ábra

A görbe az f(x) grafikonja. A rács beosztása automatikusan igazodik a tartományhoz, a vastag vonalak a tengelyek (ha a 0 benne van a tartományban). A pontok a tengelymetszetek. Ha a görbe megszakad, ott a függvény vagy nem értelmezett (például 1/x a 0-nál), vagy az értéke kívül esik a rajzolt y tartományon (például tan(x) a π/2 körül). Automatikus tartománynál a szélsőségesen nagy értékeket levágjuk, hogy a jellemző rész jól látszódjon.

Számolási példák

• x^2-3x+1 (−5 és 5 között): y tengelymetszet (0; 1), zérushelyek 0,3820 és 2,6180 (a (3 ± √5)/2 értékek), a legkisebb érték −1,25 körül.
• sin(x) (−7 és 7 között, radiánban): 5 zérushely (−2π, −π, 0, π, 2π), a függvény páratlan.
• 1/x: az x = 0-nál nem értelmezett, nincs y tengelymetszet és zérushely, a függvény páratlan.
• x^3-x (−3 és 3 között): zérushelyek −1, 0, 1, páratlan.
• sqrt(x)-2 (−1 és 9 között): zérushely x = 4, a negatív x-nél nem értelmezett.

Mire figyelj még?

• A szögfüggvények alapesetben radiánban számolnak; a „Szögmérték” beállítással fokra válthatsz.
• Törtkitevős hatvány negatív alapra nem értelmezett itt (például (−8)^(1/3)), ezért ilyenkor a függvény nem értelmezett; a köbgyököt pozitív alapra használd.
• A tizedeselválasztó pont és vessző is lehet, de ezres tagolót ne írj.
• A legkisebb és legnagyobb érték a mintapontokból számolt közelítés; függőleges aszimptota közelében nem jellemző.
• Oktatási segédeszköz: a pontos zérushelyet (például gyökös alakban) az egyenlet algebrai megoldásával kapod meg.