Szinusz, koszinusz, tangens kalkulátor

Mit számol a szinusz, koszinusz, tangens kalkulátor?

Két irányban működik. Szögből függvényérték: megadsz egy szöget fokban, radiánban vagy π többszöröseként, és megkapod a szinuszát, koszinuszát, tangensét és kotangensét. Ha a szög a 15° egész számú többszöröse (például 30°, 45°, 60°, 150°, 225°), a pontos, gyökös alakot is kiírjuk a tizedes közelítés mellett. Értékből szög (inverz művelet): megadod, hogy a szinusz, a koszinusz vagy a tangens mennyi, és kiszámoljuk az arcsin, arccos vagy arctg főértékét, az összes megoldást a 0°–360° tartományban, valamint az általános megoldást. Mindkét esetben egységkör-ábra mutatja a szöget.

Hogyan számolunk?

1. Mértékegység-átváltás: radián = fok · π / 180, fok = radián · 180 / π. A teljes kör 360° = 2π rad.
2. Normalizálás: a szöget a 0°–360° tartományba hozzuk (a szögfüggvények 360°-onként ismétlődnek), és megállapítjuk a negyedet.
3. Referenciaszög: az x tengellyel bezárt hegyesszög. Az első negyedben maga a szög, a másodikban 180° − α, a harmadikban α − 180°, a negyedikben 360° − α.
4. Előjelek: a szinusz az 1. és 2., a koszinusz az 1. és 4. negyedben pozitív; a tangens (sin/cos) az 1. és 3. negyedben.
5. Pontos érték: a referenciaszög 0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75° vagy 90° esetén táblázatból vesszük, és az előjelet alkalmazzuk.
6. Inverz művelet: a főérték után az összes megoldást a szimmetriákból kapjuk: sin α = v esetén α és 180° − α; cos α = v esetén α és 360° − α; tg α = v esetén α és α + 180°.

Miért így számolunk?

Az egységkörön (1 sugarú kör) az α szöghöz tartozó pont koordinátái definíció szerint (cos α; sin α), a tangens pedig a kör jobb szélénél húzott érintőn mért szakasz. Ebből következik, hogy a függvények periodikusak, és a negyedek közötti tükrözések egyszerű előjelszabályokat adnak. A nevezetes szögek pontos értéke szabályos háromszögből és négyzetből vezethető le: például a 30°-os szög szinusza az egységnyi oldalú szabályos háromszög magasságából adódik (sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2). A 15° és 75° értékei az összegképletekből jönnek: sin 15° = (√6 − √2)/4. A tangens 90°-nál és 270°-nál nincs értelmezve, mert ott a koszinusz 0, és nullával nem lehet osztani; a kotangens 0°-nál és 180°-nál nem értelmezett.

Az ábra

Az egységkörön a sugár az α szöget zárja be a pozitív x tengellyel. A vízszintes vastag szakasz (az origótól a pont vetületéig) hossza a koszinusz, a függőleges piros szakasz hossza a szinusz (előjellel: lefelé vagy balra negatív). A tangens az x = 1 egyenesnél olvasható le: a sugár (meghosszabbítva) itt metszi az érintőt. A pont koordinátái az ábrán is szerepelnek.

Számolási példák

• 30°: sin = 1/2 = 0,5, cos = √3/2 ≈ 0,8660, tg = √3/3 ≈ 0,5774.
• 150° (2. negyed, referenciaszög 30°): sin = 1/2, cos = −√3/2, tg = −√3/3.
• 225° (3. negyed, referenciaszög 45°): sin = cos = −√2/2 ≈ −0,7071, tg = 1.
• 1 radián (≈ 57,2958°, nem nevezetes szög): sin ≈ 0,8415, cos ≈ 0,5403.
• sin α = 0,5 inverz: főérték 30°, a 0°–360° tartományban 30° és 150°; cos α = −0,5 megoldásai 120° és 240°.

Mire figyelj még?

• Ellenőrizd a mértékegységet: ha a számológéped radián módban van, a 30-nak nem 0,5 a szinusza. Itt a mértékegységet külön választod.
• A „π radián” opcióban a szorzót add meg: 0,5 jelent π/2-t, 1 pedig π-t.
• Nem nevezetes szögnél a tizedes érték közelítés (8 tizedesre kerekítve), a számolás belül pontosabb.
• A főérték tartománya: arcsin −90°…90°, arccos 0°…180°, arctg −90°…90° (a végpontok nélkül). A további megoldásokat az általános megoldás adja (k tetszőleges egész).
• Oktatási segédeszköz: dolgozatban a tanári módszert (tankönyvi táblázat, egységkör) kövesd.