Háromszög kalkulátor

Mit számol a háromszög kalkulátor?

Bármilyen háromszög hiányzó adatait kiszámolja, ha a megadott adatok meghatározzák: három oldalból (SSS), két oldalból és a közbezárt szögből (SAS), egy oldalból és két szögből (ASA, AAS) vagy két oldalból és az egyikkel szemközti szögből (SSA). Az eredmény: mindhárom oldal és szög, a háromszög típusa (hegyes-, derék- vagy tompaszögű; általános, egyenlő szárú vagy szabályos), a kerület, a terület, a három magasság, a beírt és a körülírt kör sugara, valamint méretarányos rajz. Az oldalak jelölése: az „a” oldallal szemben az α szög van, és így tovább.

Hogyan számolunk?

1. SSS: a szögeket a koszinusztételből kapjuk: cos α = (b² + c² − a²) / (2bc), hasonlóan β és γ.
2. SAS: a harmadik oldal: c² = a² + b² − 2ab·cos γ, majd a szögek a koszinusztétellel.
3. ASA, AAS: a harmadik szög 180° − a másik kettő; a hiányzó oldalak a szinusztételből: b = a·sin β / sin α, c = a·sin γ / sin α.
4. SSA: sin β = b·sin α / a; ebből β (és esetleg 180° − β), majd γ = 180° − α − β és a c oldal a szinusztétellel.
5. Terület (Héron-képlet): s = (a + b + c) / 2, T = √(s(s−a)(s−b)(s−c)).
6. Magasságok: m_a = 2T / a (hasonlóan a többi); beírt kör: r = T / s; körülírt kör: R = abc / (4T).

Miért így számolunk?

• Koszinusztétel: a Pitagorasz-tétel általánosítása nem derékszögű háromszögre. γ = 90°-nál a koszinusz 0, és visszakapjuk a c² = a² + b² összefüggést.
• Szinusztétel: az oldalak aránya egyenlő a szemközti szögek szinuszának arányával.
• Háromszög-egyenlőtlenség: bármely két oldal összege nagyobb a harmadiknál, a szögek összege 180°. Ha ez nem teljesül, a kalkulátor hibát jelez.
• Az SSA-eset különleges: a megadott adatokhoz két különböző háromszög is tartozhat (β és 180° − β), mert ugyanahhoz a szinuszhoz két szög tartozik. Ilyenkor mindkettőt megmutatja.

Az ábra

Az ábra méretarányos rajz: az A, B, C csúcsoknál a szög, az oldalak mellett a hosszuk látszik. Az „a” oldal vízszintes, alul van. SSA esetén, ha két megoldás van, az első háromszög színes, a második szaggatott vonallal jelenik meg, és a második adatai megjegyzésben szerepelnek.

Számolási példák

• SSS: 5, 6, 7: α ≈ 44,42°, β ≈ 57,12°, γ ≈ 78,46°; terület ≈ 14,6969, kerület 18, r ≈ 1,6330, R ≈ 3,5722; hegyesszögű, általános háromszög.
• SSS: 3, 4, 5: γ = 90°, terület 6, derékszögű.
• SAS: a = 8, b = 5, γ = 60°: c = 7, α ≈ 81,79°, β ≈ 38,21°, terület ≈ 17,3205.
• AAS: a = 10, α = 40°, β = 60°: γ = 80°, b ≈ 13,4730, c ≈ 15,3209, terület ≈ 66,3414.
• SSA: a = 6, b = 8, α = 30°: két megoldás. Az első: β ≈ 41,81°, γ ≈ 108,19°, c ≈ 11,4003, terület ≈ 22,8007. A második: β ≈ 138,19°, γ ≈ 11,81°, c ≈ 2,4561, terület ≈ 4,9121.

Mire figyelj még?

• Három szög megadása (AAA) nem határozza meg a háromszög méretét, ezért ilyen mód nincs.
• Figyeld a jelölést: a szög mindig a nevével megegyező betűjű oldallal szemben van. ASA módban a két szög a megadott oldalon fekszik (β, γ).
• A szögek fokban értendők, a kalkulátor nem kér mértékegységet az oldalakhoz: az eredmény ugyanabban az egységben jön ki.
• A kerekítés miatt előfordulhat, hogy a szögek összege nem pontosan 180° látszik; a belső számítás pontosabb.