Ugrás a tartalomhoz
Okosan élek

Másodfokú egyenlet megoldó

Add meg az ax² + bx + c = 0 egyenlet együtthatóit: megkapod a gyököket, az ellenőrzést és a parabola grafikonját.

Matematika és iskola Képletek ellenőrizve:

Nem lehet 0.

Eredmény

Gyökök

x₁ = 4; x₂ = -1

Diszkrimináns

25

D > 0

Csúcs

(1,5; -6,25)

A másodfokú függvény grafikonja a gyökökkel és a csúccsal-4-20246-50510152025csúcsx1 = 4x2 = -1f(x) = 1x² − 3x − 4
A gyökök a parabola és az x tengely metszéspontjai; a sárga pont a csúcs.
Az egyenlet
1x² − 3x − 4 = 0
Diszkrimináns (D) két különböző valós gyök
25
x₁
4
x₂
-1
Visszahelyettesítés: a·x² + b·x + c, ha x = 4 a kerekítés miatt ±0,000001 eltérés lehetséges
0
Visszahelyettesítés: a·x² + b·x + c, ha x = -1 a kerekítés miatt ±0,000001 eltérés lehetséges
0
A gyökök összege Viète: −b/a = 3
3
A gyökök szorzata Viète: c/a = -4
-4
Szorzat alak
1·(x − 4)·(x − (-1))
A parabola csúcsa felfelé nyílik, a csúcs a minimum
(1,5; -6,25)
y tengelymetszet
(0; -4)
Hogyan jött ki ez az eredmény? – a számítás lépései

  1. 1. A diszkrimináns: D = b² − 4ac

    D = (-3)² − 4 · 1 · (-4)

    = 25

  2. 2. D > 0: két különböző valós gyök, x = (−b ± √D) / (2a)

    x₁,₂ = (3 ± √25) / 2

    = x₁ = 4; x₂ = -1

  3. 3. Viète-formulák ellenőrzése: x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a

    4 + (-1) és 4 · (-1)

    = 3 és -4

Mit számol a másodfokú egyenlet megoldó?

Az ax² + bx + c = 0 alakú egyenletet oldja meg, ha megadod az a, b, c együtthatót. Kiszámolja a diszkriminánst, a gyököket (ha nincs valós gyök, a komplex gyökpárt), a Viète-formulákkal ellenőrzi őket, visszahelyettesít, megadja a szorzat alakot, a parabola csúcsát és az y tengelymetszetét, valamint grafikont rajzol. Az „a” együttható nem lehet 0: akkor az egyenlet nem másodfokú.

Hogyan számolunk?

  1. Diszkrimináns: D = b² − 4ac.
  2. Ha D > 0: két valós gyök, x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a).
  3. Ha D = 0: egy (kétszeres) gyök, x = −b / (2a).
  4. Ha D < 0: nincs valós gyök; a két komplex gyök: −b / (2a) ± i·√(−D) / (2|a|).
  5. Viète-formulák: x₁ + x₂ = −b/a és x₁·x₂ = c/a.
  6. Csúcs: x = −b / (2a), az y a függvény értéke ott.
D = b² − 4ac
x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a)
csúcs: (−b / (2a); f(−b / (2a)))

Miért így számolunk?

  • A megoldóképlet teljes négyzetté alakításból jön: ax² + bx + c = a·((x + b/(2a))² − D/(4a²)), ebből a gyökök leolvashatók.
  • A diszkrimináns dönt: a négyzetgyök alatt álló szám előjele mondja meg, hány valós megoldás van. Negatív szám valós négyzetgyöke nincs.
  • Viète-ellenőrzés: a gyökök összege és szorzata az együtthatókból közvetlenül kiszámolható, így gyorsan kiderül, hibás-e a megoldás.
  • Szorzat alak: ha vannak gyökök, a·(x − x₁)·(x − x₂) ugyanaz a kifejezés.

A grafikon

A grafikon az f(x) = ax² + bx + c függvényt, vagyis a parabolát mutatja. A gyökök a parabola és az x tengely metszéspontjai (D > 0: két metszéspont; D = 0: a parabola érinti a tengelyt; D < 0: nem éri el). A sárga pont a csúcs: ha a > 0, a parabola felfelé nyílik, és a csúcs a minimum; ha a < 0, lefelé nyílik, és a csúcs a maximum.

Számolási példák

  • x² − 3x − 4 = 0: D = 9 + 16 = 25; x = (3 ± 5) / 2, vagyis x₁ = 4, x₂ = −1; összegük 3, szorzatuk −4; csúcs: (1,5; −6,25).
  • x² − 6x + 9 = 0: D = 0, x = 3 (kétszeres gyök), a csúcs (3; 0).
  • x² + 2x + 5 = 0: D = −16, nincs valós gyök; a komplex gyökök −1 + 2i és −1 − 2i; csúcs: (−1; 4).
  • −2x² + 4x + 6 = 0: D = 64, x₁ = −1, x₂ = 3; a parabola lefelé nyílik, a csúcs (1; 8) a maximum.

Mire figyelj még?

  • Az egyenletet előbb rendezd 0-ra: például x² = 3x + 4 esetén x² − 3x − 4 = 0, vagyis a = 1, b = −3, c = −4.
  • Az együtthatók előjelére figyelj: a b = −3 a képletben −b = 3.
  • Ha az egyik együttható hiányzik, írj helyére 0-t (x² − 9 = 0: a = 1, b = 0, c = −9).
  • A gyököket 6 tizedesre kerekítve látod; ha az iskolában gyökös alakot várnak, a D értékéből (√D) te is felírhatod.

Gyakori kérdések

Mi a másodfokú egyenlet megoldóképlete?

Az ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) egyenlet megoldása x = (−b ± √D) / (2a), ahol a diszkrimináns D = b² − 4ac.

Mit jelent a diszkrimináns?

Ha D > 0, két különböző valós gyök van; ha D = 0, egy (kétszeres) gyök; ha D < 0, nincs valós gyök, a megoldások komplex számok (a ± bi). A grafikonon: a parabola két helyen metszi, érinti, vagy nem éri el az x tengelyt.

Mik a Viète-formulák?

A gyökök összege x₁ + x₂ = −b/a, szorzata x₁·x₂ = c/a. Ezekkel gyorsan ellenőrizhető a megoldás.

Mi a parabola csúcsa?

A csúcs x-koordinátája −b/(2a), y-koordinátája a függvény értéke ott: −D/(4a). Ha a > 0, a parabola felfelé nyílik, és a csúcs a minimum; ha a < 0, lefelé nyílik, és a csúcs a maximum.

Hiteles források

A számítás alapjait az alábbi hivatalos és szakmai forrásokból ellenőriztük, 2026. október 19.-i állapot szerint.

Fontos: a kalkulátor oktatási segédeszköz: a levezetés a gyakorlást és az ellenőrzést segíti, de a házi feladatot és a dolgozatot a tanári, tankönyvi módszer szerint kell megoldani. A kerekített értékek közelítések, a pontos alak az eredmény mellett szerepel. Hibát találtál, vagy hiányzik valami? Írj nekünk.

További kalkulátorok