Hatványozás és gyökvonás kalkulátor

Mit számol a hatványozás és gyökvonás kalkulátor?

Két műveletet végez el. Hatványozásnál megadsz egy alapot és egy kitevőt, és megkapod az aⁿ értékét. A kitevő lehet pozitív, nulla, negatív, tizedes tört vagy tört (például 2/3). Gyökvonásnál megadod a gyök alatti számot és a gyökkitevőt (2-től 20-ig), és megkapod a gyököt. Az eredményt közelítő tizedes értékként, ahol lehet, pontos alakban (tört, egész szám vagy gyökjeles alak, például 6√2), valamint tudományos alakban is kiírja. A kalkulátor ábrát is rajzol a függvényről.

Hogyan számolunk?

1. Egész kitevő: az alapot a kitevő abszolút értékének megfelelő számúszor szorozzuk önmagával. A nulladik hatvány 1 (ha az alap nem nulla).
2. Negatív kitevő: először a pozitív kitevővel számolunk, majd veszünk reciprokot.
3. Törtkitevő: a nevező a gyökkitevő, a számláló a hatványkitevő: előbb gyököt vonunk, aztán hatványozunk.
4. Gyökvonás: a gyök alatti számból kiemeljük a teljes hatványokat (gyökjel alól kivonás), így kapjuk a pontos alakot; a közelítő érték a^1/n.
5. Ellenőrzés: a gyök n-edik hatványa visszaadja a gyök alatti számot.

Miért így számolunk?

• A hatványozás azonosságai. A negatív és a törtkitevő azért van így értelmezve, hogy a kitevők szabályai (például aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ) továbbra is igazak maradjanak.
• Pontos és közelítő érték. A √72 tizedes alakja (8,4852813742) végtelen, nem szakaszos, csak közelítés; a 6√2 viszont pontos. Ezért mutatjuk mindkettőt.
• Valós számok. Páros gyök alatt negatív szám nem szerepelhet, mert a valós számok között nincs olyan szám, amelynek négyzete negatív. Páratlan gyöknél viszont van megoldás: ³√(−8) = −2.

Az ábra

Hatványozásnál az ábra az y = xⁿ függvény grafikonját mutatja, rajta egy sárga ponttal az általad megadott (a; aⁿ) pontot. Gyökvonásnál az y = ⁿ√x függvény grafikonja látszik, a (a; gyök) ponttal. Az ábráról leolvasható, hogy a függvény nő vagy csökken, és hol nincs értelmezve.

Számolási példák

• 2⁻³: = 1 / 2³ = 1/8 = 0,125; tudományos alakban 1,25 · 10⁻¹.
• 10⁻²: pontosan 1/100 = 0,01.
• (−2)⁻³: pontos értéke −1/8 = −0,125. (A kalkulátor ezt „−2^−3” alakban írja ki, de a negatív alap itt zárójelben értendő.)
• 8^(2/3): = (³√8)² = 2² = 4. A 4^0,5 értéke 2, a 2^(−1/2) közelítő értéke 0,7071067812.
• √72: közelítőleg 8,4852813742, pontosan 6√2. A ³√54 közelítőleg 3,7797631497, pontosan 3 · ³√2.
• ³√(−8) = −2, a √144 = 12, a ⁴√81 = 3.

Mire figyelj még?

• A 0⁰ nem értelmezett, a nulla negatív kitevős hatványa sem (nullával osztás lenne), és a kalkulátor hibaüzenetet ad.
• Negatív alap páros nevezőjű törtkitevővel (például (−8)^(1/2)) nem értelmezhető a valós számok körében; ugyanígy a negatív szám négyzetgyöke sem.
• A kitevőt írhatod törtként (2/3), tizedes törtként (0,5; tizedesvesszővel vagy ponttal) vagy egészként.
• Az alap és a gyök alatti szám korlátos (hatványozásnál ±1 000 000, gyökvonásnál ±1 000 000 000), a gyökkitevő 2 és 20 közötti egész.
• A pontos érték nem mindig jelenik meg: például 2^(−1/2)-nél csak a közelítő érték látszik.