Ugrás a tartalomhoz
Okosan élek

Egyenletrendszer megoldó

Add meg az egyenletek együtthatóit: lépésenként megoldjuk a rendszert, megmondjuk a megoldások számát, és két ismeretlennél ábrázoljuk az egyeneseket.

Matematika és iskola Képletek ellenőrizve:

Az egyenlet alakja: ax + by (+ cz) = d. Ha egy ismeretlen nem szerepel, az együtthatója 0.

Eredmény

Megoldás

x = 2, y = 1

Megoldások száma

egy

Determináns

−3

Az egyenletrendszer két egyenesének grafikonja: a metszéspont a megoldás-20246-4-20246(2; 1)1. egyenlet: 2x + y = 52. egyenlet: x − y = 1
Mindkét egyenlet egy-egy egyenes. Egy megoldás: az egyenesek metszéspontja; nincs megoldás: párhuzamosak; végtelen sok: egybeesnek.
Az egyenletrendszer
2x + y = 5; x − y = 1
Együtthatómátrix determinánsa (D) D ≠ 0: pontosan egy megoldás van
−3
Az együtthatómátrix rangja / a bővített mátrix rangja a rang egyenlő az ismeretlenek számával (2): egy megoldás
2 / 2
x
2
y
1
1. egyenlet behelyettesítve egyezik
5 = 5
2. egyenlet behelyettesítve egyezik
1 = 1
Dx (a(z) x oszlopa a jobb oldalra cserélve) x = Dx / D = −6 / −3 = 2
−6
Dy (a(z) y oszlopa a jobb oldalra cserélve) y = Dy / D = −3 / −3 = 1
−3
Hogyan jött ki ez az eredmény? – a számítás lépései

  1. 1. A rendszer felírása

    1. 2x + y = 5; 2. x − y = 1

    = az együtthatómátrix determinánsa: −3

  2. 2. Az x együtthatóit egyenlővé tesszük (szorzó az 1. egyenletnél: 1, a 2. egyenletnél: 2)

    1 · (2x + y = 5) → 2x + y = 5; 2 · (x − y = 1) → 2x − 2y = 2

    = x együtthatója mindkét egyenletben 2

  3. 3. A két egyenlet különbsége: az x kiesik

    (2x + y = 5) − (2x − 2y = 2) → (1 − (−2))·y = 5 − 2

    = 3y = 3

  4. 4. Az y kiszámítása

    y = 3 / 3

    = y = 1

  5. 5. Visszahelyettesítés a(z) 1. egyenletbe: x kiszámítása

    2x + 1·1 = 5 → 2x = 5 − 1

    = x = 2

  6. 6. Ellenőrzés: a megoldás behelyettesítése az eredeti egyenletekbe

    1. egyenlet behelyettesítve: 5 = 5; 2. egyenlet behelyettesítve: 1 = 1

    = mindegyik egyenlet teljesül

Mit számol az egyenletrendszer megoldó?

Két ismeretlenes (x, y) vagy három ismeretlenes (x, y, z) lineáris egyenletrendszert old meg. Az együtthatókat és a jobb oldalakat kell megadnod, ezekből a kalkulátor pontos, tört alakú eredményt számol, lépésenként levezeti, és megmondja a megoldások számát: egy megoldás, nincs megoldás, vagy végtelen sok megoldás. Két ismeretlennél a két egyenes grafikonját is megrajzolja, és kiválaszthatod, hogy elimináció (egyenlő együtthatók módszere) vagy behelyettesítés szerint kérsz levezetést. Három ismeretlennél a Gauss–Jordan-eliminációt használja.

Hogyan számolunk?

  1. Elimináció (2 ismeretlen): az egyenleteket úgy szorozzuk, hogy az egyik ismeretlen együtthatója azonos legyen, majd kivonjuk őket egymásból; így egyismeretlenes egyenletet kapunk.
  2. Behelyettesítés: az egyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent, és beírjuk a másik egyenletbe.
  3. Visszahelyettesítés: a kiszámolt ismeretlent beírjuk egy eredeti egyenletbe, és kiszámoljuk a másikat.
  4. Gauss–Jordan (3 ismeretlen, vagy ha a determináns nulla): az egyenletek többszörösét vonjuk ki egymásból, amíg minden egyenletben egyetlen ismeretlen marad; a végén a vezéregyütthatóval osztunk.
  5. Ellenőrzés: a megoldást behelyettesítjük az eredeti egyenletekbe, és a Cramer-szabállyal (determinánsok hányadosa) is összevetjük.
x = Dx / D, y = Dy / D, z = Dz / D
két ismeretlennél: D = a₁b₂ − a₂b₁

Miért így számolunk?

  • Ugyanaz a megoldás, bármelyik módszerrel. Az egyenlet mindkét oldalával ugyanazt a műveletet végezve, vagy egyenletek összeadásával, kivonásával a megoldáshalmaz nem változik.
  • A determináns dönt: ha D ≠ 0, pontosan egy megoldás van. Ha D = 0, vagy nincs megoldás (ellentmondás), vagy végtelen sok (az egyenletek függenek egymástól). Ezt a kalkulátor az eliminációban kialakuló 0 = d típusú egyenletből ismeri fel; a rang (az együtthatómátrix és a bővített mátrix rangja) is megjelenik.
  • Végtelen sok megoldásnál a szabad ismeretlent paraméterrel (t, s) adjuk meg, és a többi ismeretlent ennek függvényében fejezzük ki.
  • Pontos törtek: az együtthatókat legfeljebb 6 tizedesjegyig vesszük figyelembe, és tört alakban számolunk, így nincs kerekítési hiba.

Az ábra

Két ismeretlennél mindkét egyenlet egy-egy egyenes az x–y koordináta-rendszerben. Ha az egyenesek metszik egymást, a metszéspont koordinátái a megoldás (a pont fel van tüntetve). Ha párhuzamosak, nincs közös pontjuk, tehát nincs megoldás. Ha egybeesnek, minden pontjuk közös, ezért végtelen sok a megoldás. A függőleges egyenesek (ha az y együtthatója nulla) külön jelölést kapnak.

Számolási példák

  • 2x + y = 5; x − y = 1: D = −3; az eliminációval 3y = 3, y = 1, majd x = 2. Megoldás: x = 2, y = 1.
  • 2x + 3y = 1; 5x − 4y = 2: D = −23; megoldás x = 10/23, y = 1/23.
  • x + 2y = 3; 2x + 4y = 7: D = 0, és a második egyenletből az elsőt kétszeresen kivonva 0 = 1 marad: nincs megoldás (párhuzamos egyenesek).
  • x + 2y = 3; 2x + 4y = 6: a második az első kétszerese: végtelen sok megoldás, például x = 3 − 2t, y = t.
  • 2x + y − z = 5; x − y + 2z = 1; 3x + 2y + z = 10: D = −10; x = 9/5 (1,8), y = 2, z = 3/5 (0,6).

Mire figyelj még?

  • Az egyenleteket előbb rendezd ax + by = d alakra; ha egy ismeretlen nem szerepel, az együtthatója 0.
  • Nullától különböző determinánsnál mindig létezik egyetlen megoldás; a kalkulátor ezt a jobb oldali értékek bármilyen választására megtalálja.
  • Nagyon nagy vagy nagyon sok tizedesjegyű együtthatóknál a pontos számolás határát elérheted; ilyenkor üzenetet kapsz.
  • Három ismeretlennél nem készül grafikon, mert a megoldás három sík metszéspontja lenne.

Gyakori kérdések

Hány megoldása lehet egy lineáris egyenletrendszernek?

Három eset lehetséges: pontosan egy megoldás (két ismeretlennél a két egyenes metszi egymást), nincs megoldás (az egyenesek párhuzamosak, ellentmondás adódik), vagy végtelen sok megoldás (az egyenesek egybeesnek, az egyik egyenlet a másik többszöröse).

Mi a különbség a behelyettesítés és az elimináció között?

Behelyettesítésnél az egyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent, és beírjuk a másikba. Eliminációnál az egyenleteket megfelelő számmal szorozva úgy adjuk össze vagy vonjuk ki, hogy az egyik ismeretlen kiessen. Mindkét módszer ugyanazt az eredményt adja.

Mit jelent a Gauss-módszer?

A Gauss-féle eliminációban az egyenleteket sorra úgy alakítjuk (egyenlet többszörösének hozzáadásával vagy kivonásával), hogy minden ismeretlen egyre kevesebb egyenletben maradjon, végül egyetlen ismeretlenes egyenleteket kapjunk. A kalkulátor a Gauss–Jordan-változatot használja, amely a végén közvetlenül a megoldást adja.

Honnan látszik, hogy nincs megoldás?

Ha az elimináció során olyan egyenlet marad, amelyben az összes ismeretlen együtthatója nulla, de a jobb oldal nem nulla (például 0 = 5), akkor a rendszer ellentmondásos. Két ismeretlennél ez a két egyenes párhuzamos.

Hogyan adom meg az együtthatókat?

Minden egyenletet ax + by = d (három ismeretlennél ax + by + cz = d) alakra rendezünk, és az együtthatókat (a, b, c) és a jobb oldalt (d) írjuk be. Ha egy ismeretlen nem szerepel az egyenletben, az együtthatója 0. Az együtthatók legfeljebb 6 tizedesjegyig számítanak.

Hiteles források

A számítás alapjait az alábbi hivatalos és szakmai forrásokból ellenőriztük, 2026. október 19.-i állapot szerint.

Fontos: a kalkulátor oktatási segédeszköz: a levezetés a gyakorlást és az ellenőrzést segíti, de a házi feladatot és a dolgozatot a tanári, tankönyvi módszer szerint kell megoldani. A kerekített értékek közelítések, a pontos alak az eredmény mellett szerepel. Hibát találtál, vagy hiányzik valami? Írj nekünk.

További kalkulátorok