Ugrás a tartalomhoz
Okosan élek

Elsőfokú egyenlőtlenség megoldó

Írd be az egyenlőtlenség két oldalát és válaszd ki a relációjelet: megkapod a megoldáshalmazt intervallumként és számegyenesen.

Matematika és iskola Képletek ellenőrizve:

Ismeretlen: x. Műveletek: + − * / ( ), a szorzójel elhagyható, tört és tizedes szám is jó.

Eredmény

Megoldás

x > −1

Intervallum

(−1; ∞)

Relációjel

megfordult (< → >)

Számegyenes: az egyenlőtlenség megoldáshalmaza−5−4−3−2−10123x = −1üres karika: a határérték nem megoldás
A zöld rész a megoldáshalmaz. Üres karika: a határérték nincs benne (< vagy >), kitöltött karika: benne van (≤ vagy ≥).
Az egyenlőtlenség
5 - 2x < x + 8
Egyszerűsített alak
−2x + 5 < x + 8
Rendezett alak
(−3)·x < 3
Az x együtthatójának előjele negatív számmal osztunk, ezért a relációjel megfordul
negatív
Relációjel az osztás után a(z) < megfordult
>
Határérték
−1
Megoldás
x > −1
Intervallumjelölés régebbi jelöléssel: ]−1; ∞[
(−1; ∞)
Halmazjelölés
{x ∈ ℝ | x > −1}
A legkisebb egész megoldás felülről nem korlátos, ezért legnagyobb nincs
0
Próba: x = 0 (a megoldáshalmazban lévő szám) a megoldáshalmaz eleme, az állítás igaz
5 < 8 igaz
Próba: x = −2 (a megoldáshalmazon kívüli szám) nem eleme a megoldáshalmaznak, az állítás hamis
9 < 6 hamis
Próba: x = −1 (a határérték) a határérték nem megoldás (szigorú reláció)
7 < 7 hamis

Negatív számmal osztottunk, ezért a relációjel iránya megfordult: ez az egyenlőtlenségek leggyakoribb hibaforrása.

Hogyan jött ki ez az eredmény? – a számítás lépései

  1. 1. A zárójelek felbontása, az egynemű tagok összevonása mindkét oldalon

    5 - 2x < x + 8

    = −2x + 5 < x + 8

  2. 2. Az x-es tagok az egyik oldalra, a számok a másikra (összeadás és kivonás közben a relációjel nem változik)

    (−2 − 1)·x < 8 − 5

    = (−3)·x < 3

  3. 3. Osztás az x együtthatójával (−3), amely NEGATÍV – ezért a relációjel megfordul

    x > 3 / (−3) (a < helyett >)

    = x > −1

  4. 4. A megoldáshalmaz

    x > −1

    = (−1; ∞)

  5. 5. Próba: a megoldáshalmaz egy elemének és egy azon kívüli számnak a behelyettesítése

    x = 0: 5 < 8 → igaz; x = −2: 9 < 6 → hamis; x = −1: 7 < 7 → hamis

    = a megoldáshalmaz eleme igaz, a kívüli szám hamis állítást ad

Mit számol az elsőfokú egyenlőtlenség megoldó?

Olyan egyenlőtlenségeket old meg, amelyekben az ismeretlen (x) csak az első hatványon szerepel, például 5 − 2x < x + 8. Beírod a két oldalt, kiválasztod a relációjelet (<, ≤, >, ≥), és megkapod a megoldáshalmazt egyszerű alakban (x > −1), intervallumként ((−1; ∞)), halmazjelöléssel, valamint számegyenesen ábrázolva. A levezetés kiemeli, ha negatív számmal kell osztani, mert ilyenkor a relációjel megfordul.

Hogyan számolunk?

  1. Egyszerűsítés: felbontjuk a zárójeleket, összevonjuk az egynemű tagokat mindkét oldalon.
  2. Rendezés: az x-es tagokat az egyik, a számokat a másik oldalra visszük (összeadással, kivonással: a relációjel nem változik): A·x ⋈ B.
  3. Osztás az együtthatóval: ha A > 0, a relációjel marad; ha A < 0, megfordul (< ↔ >, ≤ ↔ ≥). Eredmény: x ⋈ B/A.
  4. Különleges eset: ha A = 0, az x kiesik, és a 0 ⋈ B állítás igazsága dönt: igaz esetén minden valós szám megoldás, hamis esetén nincs megoldás.
  5. Próba: egy megoldáshalmazbeli és egy azon kívüli számot behelyettesítünk az eredeti egyenlőtlenségbe.
A·x ⋈ B ⇒ x ⋈ B/A (A > 0), x ⋈' B/A (A < 0)

Miért így számolunk?

  • Miért fordul meg a jel? Ha 2 < 5, akkor mindkét oldalt (−1)-gyel szorozva −2 > −5: a negatív szorzás tükrözi a számokat a nullára, így a sorrendjük megfordul.
  • Szigorú és nem szigorú reláció: a < és > kizárja a határértéket (üres karika, kerek zárójel), a ≤ és ≥ tartalmazza (kitöltött karika, szögletes zárójel).
  • Intervallumjelölés: a (−1; ∞) minden −1-nél nagyobb számot jelent. Régebbi tankönyvek a kerek zárójel helyett fordított szögletes zárójelet használnak: ]−1; ∞[. A kalkulátor mindkét alakot kiírja.
  • Legnagyobb vagy legkisebb egész megoldás: a határértékhez legközelebbi megfelelő egész szám; a nyitott irányban nincs szélső egész.

Az ábra

A számegyenesen a zöld sáv a megoldáshalmaz. A határértéknél karika áll: üres, ha a határérték nem megoldás (< vagy >), kitöltött, ha megoldás (≤ vagy ≥). A sáv a karikától abba az irányba megy, amelyik felé a megoldások vannak. Ha minden szám megoldás, az egész egyenes zöld; ha nincs megoldás, nincs sáv.

Számolási példák

  • 5 − 2x < x + 8: rendezve −3x < 3; negatív számmal osztunk, a jel megfordul: x > −1, intervallum (−1; ∞); a legkisebb egész megoldás 0.
  • 3x − 5 ≤ 2x + 7: rendezve x ≤ 12 (az együttható pozitív): x ≤ 12, intervallum (−∞; 12], a legnagyobb egész megoldás 12.
  • 2x + 1 > 2x − 3: az x kiesik, 0 > −4 igaz: minden valós szám megoldás.
  • 2x + 1 > 2x + 3: az x kiesik, 0 > 2 hamis: nincs megoldás.
  • x/2 ≥ (x − 1)/3 − 1: rendezve (1/6)x ≥ −4/3, ebből x ≥ −8.

Mire figyelj még?

  • A relációjelet a listából válaszd; a kifejezésbe ne írj < vagy > jelet.
  • Másodfokú vagy magasabb fokú kifejezést (x²) a kalkulátor nem fogad el.
  • Nem egész határértéknél a tört és a tizedes alakot is megkapod; a próbák pontos értékekkel történnek.
  • Kétoldali egyenlőtlenséget (például −1 < x ≤ 3) két külön egyenlőtlenségként oldhatsz meg, a megoldáshalmazok metszete adja a végeredményt.

Gyakori kérdések

Mikor kell megfordítani a relációjelet?

Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát negatív számmal szorozzuk vagy osztjuk, a relációjel iránya megfordul: −3x < 6 esetén x > −2. Pozitív számmal szorozva vagy osztva, illetve összeadás és kivonás közben a reláció nem változik.

Mi a különbség a < és a ≤ között?

A < szigorú egyenlőtlenség: a határérték nem megoldás (a számegyenesen üres karika, az intervallumban kerek zárójel). A ≤ megengedi az egyenlőséget: a határérték megoldás (kitöltött karika, szögletes zárójel).

Hogyan olvasom az intervallumjelölést?

A (−∞; 3] azt jelenti: minden szám, amely legfeljebb 3. A kerek zárójel azt mutatja, hogy a végpont nincs benne, a szögletes, hogy benne van; a végtelen mellett mindig kerek zárójel áll. Régebbi tankönyvekben a kerek zárójel helyett fordított szögletes zárójel szerepel: ]−∞; 3].

Mi történik, ha az x kiesik az egyenlőtlenségből?

Ha rendezés után csak számok maradnak, az állítás vagy mindig igaz (például 0 < 5: minden valós szám megoldás), vagy sosem igaz (például 0 > 5: nincs megoldás).

Hogyan ellenőrizhetem a megoldást?

Válassz egy számot a megoldáshalmazból és egyet azon kívülről, és helyettesítsd be az eredeti egyenlőtlenségbe. Az elsőnél igaz, a másodiknál hamis állítást kell kapnod. A kalkulátor ezt a próbát elvégzi.

Hiteles források

A számítás alapjait az alábbi hivatalos és szakmai forrásokból ellenőriztük, 2026. október 19.-i állapot szerint.

Fontos: a kalkulátor oktatási segédeszköz: a levezetés a gyakorlást és az ellenőrzést segíti, de a házi feladatot és a dolgozatot a tanári, tankönyvi módszer szerint kell megoldani. A kerekített értékek közelítések, a pontos alak az eredmény mellett szerepel. Hibát találtál, vagy hiányzik valami? Írj nekünk.

További kalkulátorok