Mértani sorozat kalkulátor

Mit számol a mértani sorozat kalkulátor?

A mértani sorozatban a szomszédos tagok hányadosa állandó. Öt adat jellemzi: az első tag (a₁), a hányados (q), a tagok száma (n), az n-edik tag (aₙ) és az első n tag összege (Sₙ). Bármely három ismert adatból kiszámolja a többit, külön kezeli a q = 1 esetet, és ha |q| < 1, a végtelen sor összegét is megadja. Ha csak az a₁-et és a q-t adod meg (|q| < 1), akkor a végtelen összeget számolja ki. A levezetés, a táblázat és a grafikon is megjelenik.

Hogyan számolunk?

1. Az n-edik tag: minden lépésben q-val szorzunk, így aₙ = a₁·qⁿ⁻¹.
2. A véges összeg (q ≠ 1): Sₙ = a₁·(qⁿ − 1)/(q − 1). Ha q = 1, minden tag egyenlő, és Sₙ = n·a₁, mert a képletben nullával kellene osztani.
3. Hiányzó adat: a két képletet átrendezzük. A tagok számát logaritmussal kapjuk: n = ln|aₙ/a₁| / ln|q| + 1, a hányadost gyökvonással: q = (aₙ/a₁)^(1/(n−1)).
4. Összegből a q: az 1 + q + … + qⁿ⁻¹ = Sₙ/a₁ polinomegyenletet numerikusan (intervallumfelezéssel) oldjuk meg, és minden valós, nem nulla gyököt vizsgálunk.
5. Végtelen összeg |q| < 1 esetén: S = a₁/(1 − q), mert qⁿ nullához tart.
6. Ellenőrzés: a kész sorozatot visszahelyettesítjük az összes megadott adatba, az eltérő adatokat hibaként jelezzük.

Miért így számolunk?

Az összegképlet onnan jön, hogy Sₙ − q·Sₙ majdnem minden tagot kiejt, csak a₁ − a₁·qⁿ marad. Ezt (1 − q)-val osztva kapjuk a képletet, ami q = 1-nél nem használható. Az a₁ = 0 és a q = 0 esetet kizárjuk, mert ekkor csupa nulla sorozatot kapunk, és a hányados fogalma nullával való osztást jelentene. A végtelen sor csak akkor konvergens, ha |q| < 1; |q| ≥ 1 esetén a tagok nem tartanak nullához, ezért nincs véges összeg. Páros kitevőnél a q előjele kétféle lehet (például q⁴ = 16 esetén q = 2 és q = −2), ezért több megoldást is kaphatsz, ezeket mind kiírjuk. Ha q = −1, az aₙ és az összeg az n paritásától függ, és az n nem mindig határozható meg: erre hibaüzenet jelzi.

Az ábra

A grafikon a tagok (k; aₖ) pontjait mutatja legfeljebb az első 20 tagig. Pozitív q esetén a pontok egy exponenciális görbén fekszenek (a görbét is megrajzoljuk), negatív q-nál az előjel tagonként vált. Ha |q| < 1, a pontok a vízszintes tengelyhez simulnak, ez szemlélteti, hogy a tagok nullához tartanak.

Számolási példák

• a₁ = 2, q = 3, n = 6: a₆ = 2·3⁵ = 486, S₆ = 2·(3⁶ − 1)/2 = 728.
• a₁ = 1, q = 2, n = 10: a₁₀ = 512, S₁₀ = 1023 (a bináris számok klasszikus példája).
• a₁ = 4, q = 1/2: 4 + 2 + 1 + … végtelen összege S = 4 / (1 − 0,5) = 8.
• a₁ = 81, q = 1/3, n = 5: a₅ = 1, S₅ = 121, a végtelen összeg 121,5.
• a₁ = 5, q = 1, S = 35: minden tag 5, így n = 35/5 = 7.
• a₁ = 2, n = 5, aₙ = 32: q⁴ = 16, ezért q = 2 vagy q = −2.

Mire figyelj még?

• Törtet „1/3” alakban is megadhatsz; tizedes közelítés (0,3333) helyett így pontosabb a számolás.
• Az n legfeljebb 1000 lehet; a nagyon nagy értékeket normálalakban (például 1,6·10^301) írjuk ki.
• Kamatos kamatnál, népességnövekedésnél vagy törlesztésnél is mértani sorozat jelenik meg, ott azonban a pénzügyi kalkulátorok a kerekítési és időszak-szabályokat is figyelembe veszik.
• Oktatási eszköz: a dolgozatban a tanári levezetési formát kövesd.