Ugrás a tartalomhoz
Okosan élek

Kúp és gömb kalkulátor

Válaszd ki a testet (kúp vagy gömb), add meg a sugarat és a magasságot vagy az alkotót: kiszámoljuk a felszínt és a térfogatot, és lerajzoljuk.

Matematika és iskola Képletek ellenőrizve:

Eredmény

Térfogat

37,699 cm³

≈ 0,038 liter

Teljes felszín

75,398 cm²

Palást

47,124 cm²

alkotó: 5 cm

Méretarányos kúp oldalnézetben a sugárral, a magassággal és az alkotóvalr = 3 cmm = 4 cml = 5 cm
Méretarányos oldalnézet: a szélesség az átmérő (2r), a magasság az m, a ferde él az l alkotó; az alapkör perspektivikus ellipszis, a takart alapív szaggatott.
r sugár
3 cm
m magasság
4 cm
l alkotó √(r² + m²)
5 cm
Alapkör területe π·r²
28,2743 cm²
Palást π·r·l
47,1239 cm²
Teljes felszín π·r² + π·r·l
75,3982 cm²
Térfogat π·r²·m / 3
37,6991 cm³
Térfogat literben 1000 cm³ = 1 liter
0,037699 liter
Az alkotó hajlásszöge az alaphoz arctg(m / r)
53,13°
Nyílásszög (a tengelymetszet csúcsszöge) 2 · arctg(r / m)
73,74°
A kiterített palást körcikkének szöge sugara 5 cm, ívhossza 18,8496 cm
216°
Hogyan jött ki ez az eredmény? – a számítás lépései

  1. 1. Az alkotó a Pitagorasz-tétellel: l² = r² + m²

    l = √(3² + 4²) = √(9 + 16)

    = 5 cm

  2. 2. Az alapkör területe

    T = π·r² = π · 3² = 9π

    = 28,2743 cm²

  3. 3. A palást: π·r·l (kiterítve az l sugarú körcikk területe)

    P = π · 3 · 5 = 15π

    = 47,1239 cm²

  4. 4. A teljes felszín: alapkör + palást

    A = 28,2743 + 47,1239

    = 75,3982 cm²

  5. 5. A térfogat: az azonos alapú és magasságú henger harmada

    V = π·r²·m / 3 = π · 3² · 4 / 3 = 12π

    = 37,6991 cm³

  6. 6. A félnyílásszög és a palást körcikkének szöge

    tg(φ) = r / m = 3 / 4; körcikk szöge = 360° · r / l = 360° · 3 / 5

    = φ = 36,87°, körcikk: 216°

Mit számol a kúp és gömb kalkulátor?

Egyenes körkúpnál a sugárból és a magasságból, a sugárból és az alkotóból, a magasságból és az alkotóból, illetve a sugárból és a térfogatból kiszámolja a hiányzó méreteket, majd az alapkör területét, a palástot, a teljes felszínt, a térfogatot és a szögeket (hajlásszög, nyílásszög, a kiterített palást körcikkének szöge). Gömbnél a sugárból vagy az átmérőből számol felszínt és térfogatot, illetve a felszínből vagy a térfogatból visszaszámolja a sugarat. Mindkettőhöz tartozik jelölt ábra.

Hogyan számolunk?

  1. Kúp alkotója: a tengelymetszet derékszögű háromszög, ezért l² = r² + m²; ebből a hiányzó méret: m = √(l² − r²) vagy r = √(l² − m²).
  2. Kúp palástja: P = π·r·l; teljes felszín: A = π·r² + π·r·l.
  3. Kúp térfogata: V = π·r²·m / 3, az azonos alapú és magasságú henger harmada. Visszaszámolás: m = 3V / (π·r²).
  4. Gömb: A = 4π·r², V = 4/3·π·r³. Visszaszámolás: r = √(A / (4π)), illetve r = ∛(3V / (4π)).
Kúp: V = π·r²·m/3, P = π·r·l, l² = r² + m²
Gömb: A = 4π·r², V = 4/3·π·r³

Miért így számolunk?

  • A kúp palástja kiterítve körcikk, sugara az alkotó (l), ívhossza az alapkör kerülete (2πr). Területe az ívhossz és a sugár szorzatának fele: ½ · 2πr · l = π·r·l. A körcikk szöge 360° · r / l.
  • A gömb felszíne a főkör területének (π·r²) négyszerese. A térfogatot a középiskolai tananyag a Cavalieri-elvvel vagy integrálással vezeti le.
  • Szélső esetek: az alkotónak mindig hosszabbnak kell lennie a sugárnál és a magasságnál; ellenkező esetben nincs kúp, és a kalkulátor hibaüzenetet ad.

Az ábra

A kúp ábrája méretarányos oldalnézet: a szélesség az átmérő, a magasság az m, a ferde él az l alkotó, az alapkör perspektivikus ellipszis (takart íve szaggatott). A gömb ábráján a körvonal, az egyenlítő ellipszise és a sugár látszik; a gömb rajzolt mérete mindig azonos, a feliratok adják a tényleges méretet.

Számolási példák

  • Kúp, r = 3 cm, m = 4 cm: l = 5 cm, P = 15π ≈ 47,1239 cm², A = 24π ≈ 75,3982 cm², V = 12π ≈ 37,6991 cm³; a palást körcikkének szöge 216°, a nyílásszög ≈ 73,74°.
  • Gömb, r = 3 cm: A = 36π ≈ 113,0973 cm², V = 36π ≈ 113,0973 cm³ (a számértékek egyezése a sugár 3 cm voltából adódik).
  • Gömb, V = 1000 cm³: r = ∛(3000 / (4π)) ≈ 6,2035 cm.
  • Gömb, A = 100 cm²: r = √(100 / (4π)) ≈ 2,8209 cm.

Mire figyelj még?

  • A magasság a csúcs és az alapkör síkjának távolsága (merőlegesen), az alkotó a ferde él: ne keverd össze őket.
  • A csonkakúp és a gömbszelet más képletekkel számol, ezeket ez az oldal nem tartalmazza.
  • A térfogat literben csak mértékegység megadásakor értelmezett.

Gyakori kérdések

Mi a kúp alkotója, és hogyan függ a sugártól és a magasságtól?

Az alkotó (l) a kúp csúcsát az alapkör egy pontjával összekötő szakasz. A kúp tengelymetszetében derékszögű háromszög keletkezik, ezért l² = r² + m², azaz l = √(r² + m²).

Mi a kúp felszínének és térfogatának képlete?

A palást P = π·r·l, a teljes felszín A = π·r² + π·r·l = π·r·(r + l), a térfogat V = π·r²·m / 3, vagyis az azonos alapú és magasságú henger térfogatának harmada.

Mi a gömb felszíne és térfogata?

A = 4π·r², V = 4/3·π·r³. A felszín négyszerese a főkör területének (π·r²). Felszínből r = √(A / (4π)), térfogatból r = ∛(3V / (4π)).

Mit jelent a palást kiterítve?

A kúp palástja kiterítve körcikk, amelynek sugara az alkotó (l), ívhossza az alapkör kerülete (2πr). A körcikk középponti szöge ezért 360° · r / l.

Hiteles források

A számítás alapjait az alábbi hivatalos és szakmai forrásokból ellenőriztük, 2026. október 19.-i állapot szerint.

Fontos: a kalkulátor oktatási segédeszköz: a levezetés a gyakorlást és az ellenőrzést segíti, de a házi feladatot és a dolgozatot a tanári, tankönyvi módszer szerint kell megoldani. A kerekített értékek közelítések, a pontos alak az eredmény mellett szerepel. Hibát találtál, vagy hiányzik valami? Írj nekünk.

További kalkulátorok