Ugrás a tartalomhoz
Okosan élek

Szinusztétel és koszinusztétel kalkulátor

Add meg a háromszög három adatát: megmutatjuk, melyik tétellel és hogyan számolható ki a többi, akár két megoldással is, és lerajzoljuk.

Matematika és iskola Képletek ellenőrizve:

°

Eredmény

Megoldások száma

2 háromszög

α = 40°, β = 55,735°, γ = 84,265°

Oldalak

7; 9; 10,836 cm

Terület

31,342 cm²

kerület: 26,836 cm

Méretarányos háromszög (SSA esetben mindkét megoldás) a szögekkel és oldalakkalB₂A 40°B₁ 55,7°C 84,3°c = 10,836 cmb = 9 cma = 7 cm
Méretarányos rajz: az A csúcsból induló két szár közös (α szög, b oldal); a BC oldal (a) két helyen metszi az alapegyenest, ezért két háromszög adódik (a második szaggatott).
a, b, c oldalak
7; 9; 10,8356 cm
α, β, γ szögek összegük: 180°
40°; 55,735°; 84,265°
Kerület
26,8356 cm
Terület
31,3423 cm²
Körülírt kör sugara (R) a szinusztétel közös hányadosának fele
5,445 cm
2. megoldás: β, γ, c terület: 8,5424 cm²
124,265°; 15,735°; 2,9532 cm

Két megoldás van (az SSA eset kétértelmű): a < b, de a > b·sin α = 5,7851. Mindkét háromszögben ugyanaz az a, b és α, csak a c oldal és a másik két szög különbözik. Az ábrán a második megoldás szaggatott.

Hogyan jött ki ez az eredmény? – a számítás lépései

  1. 1. A szinusztétellel a β szög szinusza: a / sin α = b / sin β, tehát sin β = b·sin α / a

    sin β = 9 · sin 40° / 7 = 0,8264

    = sin β = 0,8264

  2. 2. A megoldások száma: a sin β = 0,8264 egyenletnek két szög felel meg, β₁ = arcsin(0,8264) és β₂ = 180° − β₁

    β₁ = 55,735°; β₂ = 180° − 55,735° = 124,265°

    = β₁ = 55,735°, β₂ = 124,265°

  3. 3. 1. megoldás: Érvényes-e a β = 55,735°? Akkor igen, ha α + β < 180° (a harmadik szög pozitív)

    40° + 55,735° = 95,735° < 180°

    = érvényes, γ = 84,265°

  4. 4. 1. megoldás: A c oldal a szinusztétellel: c = a · sin γ / sin α

    c = 7 · sin 84,265° / sin 40°

    = c = 10,8356 cm

  5. 5. 2. megoldás: Érvényes-e a β = 124,265°? Akkor igen, ha α + β < 180° (a harmadik szög pozitív)

    40° + 124,265° = 164,265° < 180°

    = érvényes, γ = 15,735°

  6. 6. 2. megoldás: A c oldal a szinusztétellel: c = a · sin γ / sin α

    c = 7 · sin 15,735° / sin 40°

    = c = 2,9532 cm

  7. 7. Ellenőrzés a szinusztétellel: a három hányados egyenlő (a körülírt kör átmérője, 2R)

    7 / sin 40° = 9 / sin 55,735° = 10,8356 / sin 84,265°

    = 2R = 10,8901

  8. 8. A terület: T = ½·a·b·sin γ

    T = ½ · 7 · 9 · sin 84,265°

    = 31,3423 cm²

A két megoldás összehasonlítása
Adat1. megoldás2. megoldás
β szög55,735°124,265°
γ szög84,265°15,735°
c oldal10,8356 cm2,9532 cm
Kerület26,8356 cm18,9532 cm
Terület31,3423 cm²8,5424 cm²
Típushegyesszögűtompaszögű

Mit számol a szinusztétel és koszinusztétel kalkulátor?

Ha egy háromszögről három adatot ismersz, a kalkulátor kiszámolja a többit, és lépésről lépésre megmutatja, melyik tételt, hogyan alkalmazta. Öt alapeset közül választhatsz: három oldal (SSS) és két oldal a közbezárt szöggel (SAS), ezeknél a koszinusztétel dolgozik; egy oldal és két szög (ASA, AAS), valamint két oldal és az egyikkel szemközti szög (SSA), ezeknél a szinusztétel. Az SSA esetben a kalkulátor tárgyalja, hogy nincs, egy, vagy két megoldás van, és kétmegoldásos esetben mindkét háromszöget megadja és lerajzolja.

Hogyan számolunk?

Jelölés: az α szög az a oldallal, a β a b-vel, a γ a c-vel szemben van.

  1. Koszinusztétel: c² = a² + b² − 2ab·cos γ. Átrendezve a szög: cos γ = (a² + b² − c²) / (2ab). Három oldalból így kapjuk a szögeket (SSS), két oldalból és a közbezárt szögből a harmadik oldalt (SAS).
  2. Szinusztétel: a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R. Egy oldalból és két szögből a harmadik szög a 180°-os szögösszegből jön, majd az oldalak arányosan (ASA, AAS).
  3. SSA: sin β = b·sin α / a. A β₁ = arcsin(…) hegyesszög és a β₂ = 180° − β₁ is megoldás lehet, ha az α + β < 180°. Mindkét esetben γ = 180° − α − β, majd c = a·sin γ / sin α.
  4. SAS-nál a harmadik oldal után a rövidebb oldallal szemközti szöget a szinusztétellel számoljuk: az biztosan hegyesszög, így nincs kétértelműség.
c² = a² + b² − 2ab·cos γ  ·  a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R

Miért így számolunk?

  • Miért kétértelmű az SSA? A szinusz a 0°–180° tartományban két szögre ugyanazt az értéket veszi fel (β és 180° − β). A második háromszög akkor létezik, ha az α + β₂ összeg 180° alatt marad. Ez akkor áll fenn, ha a < b és a > b·sin α. Ha a = b·sin α, a háromszög derékszögű (egy megoldás), ha a < b·sin α, a sin β > 1, nincs megoldás. Ha a ≥ b, csak az egyik szög érvényes.
  • A koszinusztétel a Pitagorasz-tétel általánosítása: γ = 90°-nál a koszinusz nulla.
  • Az ellenőrző táblázat a három hányadost (oldal / szemközti szög szinusza) mutatja: egyenlőségük a szinusztétel, értékük a körülírt kör átmérője.

Az ábra

Az ábra méretarányos. Az A csúcs a bal alsó sarok, a b oldal és az α szög innen indul. SSA esetben a C csúcs közös, a B csúcs pedig az alapegyenesen két helyen lehet (B₁ és B₂): az a oldal két pontban metszi az alapegyenest. A második háromszöget színes szaggatott vonallal rajzoljuk.

Számolási példák

  • SSA: a = 7, b = 9, α = 40° (az alapérték): sin β ≈ 0,8264, így β₁ ≈ 55,73° és β₂ ≈ 124,27°; mindkettővel van háromszög: c₁ ≈ 10,8356 (T ≈ 31,34) és c₂ ≈ 2,9532 (T ≈ 8,54).
  • SSA: a = 10, b = 9, α = 40°: csak egy megoldás van, mert a ≥ b; β ≈ 35,35°, c ≈ 15,0512.
  • SSA: a = 4, b = 9, α = 40°: nincs megoldás, mert sin β ≈ 1,4463 > 1.
  • SSS: 5, 6, 7: α ≈ 44,42°, β ≈ 57,12°, γ ≈ 78,46°, T ≈ 14,6969.
  • SAS: a = 5, b = 6, γ = 70°: c ≈ 6,3623, α ≈ 47,60°, β ≈ 62,40°.

Mire figyelj még?

  • A szögeket fokban kell megadni, a kalkulátor nem radiánt vár. Zsebszámológépen is állítsd DEG módba.
  • Kerekítés: a közbülső értékeket a program pontosan tartja, kézi számolásnál a korai kerekítés eltérést okozhat az utolsó tizedesjegyekben.
  • Ha derékszögű háromszögről van szó, a Pitagorasz-tétel kalkulátor egyszerűbb; a teljes háromszög-elemzés a háromszög kalkulátoron érhető el.

Gyakori kérdések

Mikor a szinusztételt, mikor a koszinusztételt használjuk?

Ha az adott adatok között van egy oldal és a vele szemközti szög (vagy ilyen pár ismert), a szinusztétel (a / sin α = b / sin β = c / sin γ) a kézenfekvő: ez az ASA, AAS és SSA eset. Ha nincs „szemközti pár”, a koszinusztétel kell: három oldalnál (SSS), vagy két oldalnál és a közbezárt szögnél (SAS).

Miért lehet az SSA esetben két megoldás?

Mert a sin β = b·sin α / a egyenletnek két szög felel meg: egy hegyesszög (β) és annak kiegészítője (180° − β). Ha az α + (180° − β) összeg még 180° alatt marad, mindkettővel kijön háromszög. Ez akkor fordul elő, ha a < b és a > b·sin α.

Mikor nincs megoldás, és mikor egy?

Ha a < b·sin α, akkor sin β > 1, és a háromszög nem létezik. Ha a = b·sin α, éppen egy derékszögű háromszög adódik. Ha a ≥ b, a második szög (180° − β) tompa lenne, és az α-val együtt meghaladná a 180°-ot, így csak egy megoldás van.

Mi a koszinusztétel és mi köze a Pitagorasz-tételhez?

c² = a² + b² − 2ab·cos γ. Ha γ = 90°, a koszinusz nulla, és c² = a² + b² adódik, vagyis a Pitagorasz-tétel. A koszinusztétel tehát annak általánosítása tetszőleges háromszögre.

Mit jelent a szinusztételben a közös hányados?

A körülírt kör átmérőjét: a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R. A kalkulátor ezt az ellenőrző táblázatban is kiszámolja.

Hiteles források

A számítás alapjait az alábbi hivatalos és szakmai forrásokból ellenőriztük, 2026. október 19.-i állapot szerint.

Fontos: a kalkulátor oktatási segédeszköz: a levezetés a gyakorlást és az ellenőrzést segíti, de a házi feladatot és a dolgozatot a tanári, tankönyvi módszer szerint kell megoldani. A kerekített értékek közelítések, a pontos alak az eredmény mellett szerepel. Hibát találtál, vagy hiányzik valami? Írj nekünk.

További kalkulátorok