Ugrás a tartalomhoz
Okosan élek

Logaritmus kalkulátor

Add meg az alapot és az argumentumot: megkapod a logaritmus értékét, az alapváltást és a log-függvény grafikonját.

Matematika és iskola Képletek ellenőrizve:

Pozitív, és 1-től különböző szám.

Pozitív szám.

Pozitív, 1-től különböző szám; az átváltás: log_a x = log_b x / log_b a.

Eredmény

log_2(8)

3

pontos érték

ln 8

2,079442

lg 8

0,90309

A logaritmusfüggvény grafikonja, a kiszámolt ponttal0246810-2-101234(8; 3)(1; 0)(2; 1)y = log_2(x)
A log-függvény grafikonja: minden alapra átmegy az (1; 0) és az (a; 1) ponton. Az x > 0 tartományon értelmezett; a jelölt pont a kiszámolt érték. Az alap 1-nél nagyobb, ezért a függvény növekvő.
Az alap (a)
2
Az argumentum (x)
8
Értelmezési feltétel: a > 0 és a ≠ 1 a = 2
teljesül
Értelmezési feltétel: x > 0 x = 8
teljesül
A logaritmus értéke pontos érték (az argumentum az alap racionális kitevős hatványa)
3
Természetes logaritmus: ln x ln a = 0,69314718
2,07944154
Tízes alapú logaritmus: lg x
0,90308999
Kettes alapú logaritmus: lb x
3
Alapváltás: log_10 x / log_10 a ugyanazt az értéket adja, mint log_2(8)
3
Ellenőrzés: a^eredmény x = 8
8
Az érték előjele a > 1: a logaritmus növekvő, x > 1 esetén pozitív, 0 < x < 1 esetén negatív
pozitív
Hogyan jött ki ez az eredmény? – a számítás lépései

  1. 1. Értelmezési feltételek ellenőrzése

    a > 0: 2 > 0; a ≠ 1: 2 ≠ 1; x > 0: 8 > 0

    = mindhárom feltétel teljesül, a logaritmus értelmezett

  2. 2. A logaritmus definíciója: a kitevő, amelyre az alapot emelni kell

    log_2(8) = y ⇔ 2^y = 8

    = y-t keressük

  3. 3. Az argumentum az alap egész kitevős hatványa

    8 = 2^3

    = y = 3

  4. 4. Áttérés természetes logaritmusra (alapváltás b = e alapra)

    log_2(8) = ln(8) / ln(2) = 2,07944154 / 0,69314718

    = 3

  5. 5. Alapváltás a megadott új alapra: log_a x = log_b x / log_b a

    log_10(8) / log_10(2) = 0,90308999 / 0,30103

    = 3 (ugyanaz az érték, mint a természetes alapú számítással)

  6. 6. Ellenőrzés: az alapot az eredménnyel hatványozzuk

    2^3 = ?

    = 8 = 8

A logaritmus azonosságai a te számaiddal
AzonosságBehelyettesítveBal = jobb oldal
Visszahelyettesítés: a^(log_a x) = x2^3 = 88 = 8
Hatvány: log_a(x²) = 2·log_a xlog_2(64) = 2 · 36 = 6
Reciprok: log_a(1/x) = −log_a xlog_2(1/8) = −(3)−3 = −3
Szorzat: log_a(x·a) = log_a x + 1log_2(16) = 3 + 14 = 4
Hányados: log_a(x/a) = log_a x − 1log_2(4) = 3 − 12 = 2
Alap hatványa: log_(a²) x = ½·log_a xlog_4(8) = ½ · 31,5 = 1,5
Alap és argumentum cseréje: log_x a = 1/log_a xlog_8(2) = 1 / 30,333333 = 0,333333
Állandók: log_a 1 = 0 és log_a a = 1log_a 1 = 0, log_a a = 10 és 1 (minden érvényes a-ra)

Mit számol a logaritmus kalkulátor?

Kiszámolja egy pozitív szám (az argumentum, x) logaritmusát tetszőleges érvényes alapra (a): loga x. Ha az eredmény pontos érték (például log2 8 = 3 vagy log4 8 = 3/2), tört alakban is megadja, egyébként közelítő értéket ad. Ellenőrzi az értelmezési feltételeket, elvégzi az alapváltást egy általad választott új alapra, megmutatja az lg, ln és lb értéket, a logaritmus azonosságait az aktuális számaiddal, és megrajzolja a log-függvény grafikonját a kiszámolt ponttal.

Hogyan számolunk?

  1. Értelmezési feltételek: a > 0, a ≠ 1 és x > 0. Ha ezek nem teljesülnek, a kalkulátor megmondja, melyik sérül.
  2. Definíció: loga x = y azt jelenti, hogy ay = x.
  3. Pontos érték keresése: megnézzük, hogy az argumentum az alap (tört) kitevős hatványa-e, azaz van-e olyan p/q, amelyre xq = ap (q ≤ 8, |p| ≤ 40).
  4. Alapváltás: loga x = ln x / ln a = logb x / logb a, bármely b > 0, b ≠ 1 alapra.
  5. Ellenőrzés: az alapot az eredményre emelve vissza kell kapni az argumentumot.
loga x = y ⇔ ay = x
loga x = logb x / logb a

Miért így számolunk?

  • Az értelmezési feltételek a hatványozásból jönnek: pozitív alap bármely valós hatványa pozitív, ezért nullának és negatív számnak nincs valós logaritmusa; az 1 minden hatványa 1, ezért az 1-es alap kizárt.
  • Az alapváltás lehetővé teszi, hogy bármely logaritmust a számológép lg vagy ln gombjával számoljunk ki. Ez a képlet a definícióból és a hatványazonosságokból vezethető le.
  • A pontos érték csak akkor létezik, ha az argumentum és az alap „rokon”: ugyanannak a számnak a hatványai. Egyébként az eredmény irracionális, ezért csak közelíthető (például log2 10).
  • Az azonosságok (hatvány, reciprok, szorzat, hányados) a hatványozás azonosságainak logaritmikus megfelelői; a táblázat a te x és a értékeiddel mutatja, hogy a két oldal megegyezik.

Az ábra

A grafikon az y = loga x függvényt ábrázolja. Minden alapra átmegy az (1; 0) és az (a; 1) ponton, mert loga 1 = 0 és loga a = 1. Csak az x > 0 tartományon értelmezett; az y tengelyhez jobbról közelítve a függvény meredeken tart a mínusz végtelen felé (a > 1), illetve a plusz végtelen felé (0 < a < 1). Az 1-nél nagyobb alapnál a függvény növekvő, 0 és 1 közötti alapnál csökkenő. A kiszámolt pont külön színnel és koordinátákkal van jelölve.

Számolási példák

  • log2 8: 8 = 23, tehát 3; alapváltással ln 8 / ln 2 = 2,07944154 / 0,69314718 = 3.
  • log4 8: 82 = 43 (64 = 64), ezért az eredmény 3/2 = 1,5.
  • log2 10: nincs pontos tört alakja; közelítése 3,32192809.
  • log0,5 8: 8 = 0,5−3, ezért −3; 0 és 1 közötti alapnál az 1-nél nagyobb számok logaritmusa negatív.
  • lg 0,001: 0,001 = 10−3, tehát −3.

Mire figyelj még?

  • Az alap és az argumentum nem lehet nulla vagy negatív; az alap nem lehet 1.
  • A kalkulátor valós logaritmust számol, komplex logaritmust nem.
  • Az irracionális értékeket 8 tizedesjegyre kerekítve mutatjuk; a számítás közben nagyobb pontossággal dolgozunk, de az ellenőrzésben apró lebegőpontos eltérés előfordulhat.
  • Az „e” alap kiválasztásánál az e ≈ 2,718281828 értékkel számolunk; ilyenkor pontos tört alakot nem keresünk (az 1 logaritmusa viszont mindig 0).

Gyakori kérdések

Mi a logaritmus?

A loga x azt a kitevőt jelenti, amelyre a-t emelve x-et kapunk: loga x = y pontosan akkor igaz, ha ay = x. Például log2 8 = 3, mert 23 = 8.

Mikor értelmezett a logaritmus?

Az alapnak pozitívnak és 1-től különbözőnek kell lennie (a > 0, a ≠ 1), az argumentumnak pedig pozitívnak (x > 0). Nulla vagy negatív számnak nincs valós logaritmusa, mert egy pozitív szám bármely valós hatványa pozitív.

Mi a különbség az lg, az ln és a lb között?

Az lg a 10-es alapú (tízes alapú) logaritmus, az ln a természetes logaritmus (alapja az e ≈ 2,71828), az lb a 2-es alapú logaritmus. Mind ugyanannak a logaritmusnak egy-egy gyakori alapja.

Hogyan váltok alapot?

Bármely új b alapra (b > 0, b ≠ 1): loga x = logb x / logb a. A számológépen ezért elég az lg vagy az ln gomb: loga x = lg x / lg a = ln x / ln a.

Mik a logaritmus legfontosabb azonosságai?

loga(x·y) = loga x + loga y, loga(x/y) = loga x − loga y, loga(xk) = k·loga x, loga 1 = 0, loga a = 1. A kalkulátor az aktuális számaiddal ellenőrzi őket.

Hiteles források

A számítás alapjait az alábbi hivatalos és szakmai forrásokból ellenőriztük, 2026. október 19.-i állapot szerint.

Fontos: a kalkulátor oktatási segédeszköz: a levezetés a gyakorlást és az ellenőrzést segíti, de a házi feladatot és a dolgozatot a tanári, tankönyvi módszer szerint kell megoldani. A kerekített értékek közelítések, a pontos alak az eredmény mellett szerepel. Hibát találtál, vagy hiányzik valami? Írj nekünk.

További kalkulátorok